• Fazer afirmações sobre as características de uma população, com base em informações dadas por amostras.

• População é qualquer conjunto de elementos que você está observando

• Amostra é qualquer subconjunto desta população.

Ajustando um modelo

• Estimar parâmetros da população baseados na amostra, modelo teórico de distribuição de probabilidades

• Variável Aleatória de distribuição de probabilidades Normal com média (μ) e desvio padrão (σ).

## [1] 22.72789

## [1] 32.3065

## [1] 5.683881

A variável aleatória X é uma variável que tem um valor único (determinado aleatoriamente) para cada resultado de um experimento (lembre-se esse termo veio da teoria de probabilidade).

Exemplos:

1. Altura das árvores de uma floresta (!!)

2. Número de presas capturadas por um predador em um determinado dia;

3. Comprimento de um peixe adulto selecionado aleatoriamente.

As variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas.

Número ou a quantidade observada na unidade experimental ou tentativa.

• Representada por números inteiros (0, 1, 2, 3, 4…);

• Não pode conter números negativos;

• Número finito de possibilidades;

• Podemos achar a probabilidade de cada evento.

Ex: peso, altura, distância, pH, biomassa, etc.

• Representada por números não inteiros (1.3, - 1.54, - 1.7);

• Pode conter números negativos;

• Número infinito de possibilidades;

• Probabilidade de cada evento é zero.

Associa cada possível valor da variável (X) à sua probabilidade de ocorrência P(X).

Quando conhecemos todos os valores de uma variável aleatória, juntamente com suas respectivas probabilidades, temos uma distribuição de probabilidades.

• Distrib. Discreta do número de sucessos em uma sequência de n tentativas

E[X] = np

e a variância é

var[X] = np(1-p)

• Número sementes predadas em cada experimento contendo 20 semente.

• Número de animais infectados em relação ao número de capturados em cada local

• Probabilidade de predação de girinos por odonatas. P = 0.30

• Temos 6 girinos num lago.

• Qual robabilidades de que 0, 1, 2, 3, 5 ou todos sejam predados?

• Distribuição de probabilidade discreta.

• Probabilidade de uma série de eventos ocorrem em um período fixo de tempo, área, volume, quadrante, etc.

E[X] = (λ)

var[X] = (λ)

• Abundância de espécies em um local

• Número de indivíduos capturados por tempo

• Número de visitas de borboletas em uma planta em 15 min: 10
• Probabi A probabilidade de uma borboleta visitar é a mesma para quaisquer dois períodos de tempo de igual comprimento. Abaixo o histograma dessa distribuição de probabilidade.

• Simétrica, contínua

– Metade (50%) está acima (e abaixo) da média

– Aproximadamente 68% está dentro de 1 desvio padrão da média

– Aproximadamente 95% está dentro de 2 desvios padrões da média

– Virtualmente todos os valores estão dentro de 3 desvios padrões da média

"toda soma de variáveis aleatórias independentes de média finita e variância limitada é aproximadamente Normal, desde que o número de termos da soma seja suficientemente grande".

Independentemente do tipo de distribuição da população, na medida em que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição das médias amostrais tende a uma distribuição Normal.

• Qual é a probabilidade de que um peixe capturado aleatoriamente tenha 20,15 cm ou mais?

• Média da população é 17,1 cm e o desvio padrão é de 1,21 cm?

prob <- pnorm(q = 20.15, mean = 17.1, sd = 1.21, lower.tail = F)
prob

## [1] 0.005856729

• Ddados de duas espécies

levels(arv$sp)

## [1] "sp1" "sp2"

Será que a altura média de uma espécie nessa floresta é diferente da altura média da outra espécie?

Ou seja, será que as espécies pertencem a uma mesma distribuição e as diferenças encontradas são devido ao acaso ou será que cada espécie é uma variável aleatória com médias diferentes?

library(lattice)
histogram(~alt|sp, 
          data = arv,
          layout = c(1,2),
          strip=F,
          strip.left=T)

mean(arv$alt[arv$sp=="sp2"]) - mean(arv$alt[arv$sp=="sp1"])

## [1] 5.109466

Posso afirmar que as médias são diferentes?

H0 - não há diferença entre as alturas das duas espécies. A média da altura da espécie 1 é igual à média da altura da espécie 2 e a diferença observada se deve ao acaso.

H1 - há diferença entre as alturas das duas espécies. A média da altura da espécie 1 é diferente da média da altura da espécie 2.

AFIRMAÇÃO: não há diferença entre as alturas das espécies,
VERDADE: há diferenças.

AFIRMAÇÃO: há diferença entre as alturas das espécies,
VERDADE: não há diferenças.

ERRO DO TIPO I (α): rejeitar a hipótese nula dada que ela é verdadeira.

ERRO DO TIPO II: aceitar a hipótese nula dado que ela é falsa.

Contrastar a probabilidade de que a diferença que você encontrou nas médias das alturas das duas espécies pode se considerada devido ao acaso ou não.

Qual é a probabilidade de que as duas amostras pertencem à mesma população de medidas?

Podemos ou não rejeitar a hipótese nula (de que a diferença é ao acaso), baseado em alguma probabilidade de estarmos cometendo algum erro (α).

Graus de liberdade

"O número de observações independentes menos o número de parâmetros estimados."

Quantas observações independentes foram usadas para calcular a média e a variância dos dados sob a hipótese nula?

100 árvores
2 parâmetros
98 graus de liberdade

Não entraremos em detalhes de como se calcula a estatística t e como é a sua distribuição de probabilidades (recomendo ver na wikipedia). O importante a saber aqui é que tendo as duas amostras modeladas como uma distribuição normal, calculamos a estatística t e com um certo valor de graus de liberdade, nós podemos recorrer às tabelas da distribuição t para ver qual a probabilidade de se obter aquele valor que obtivemos dada que a hipótese nula é verdadeira. Se esta probabilidade for muito pequena, a chance de estarmos caindo no erro do tipo 1 é pequena.

No R, a função usada para fazer um teste t é t.test.

t.test(arv$alt~arv$sp, var.equal=T)

## 
##  Two Sample t-test
## 
## data:  arv$alt by arv$sp
## t = -5.0125, df = 98, p-value = 2.387e-06
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -7.132311 -3.086621
## sample estimates:
## mean in group sp1 mean in group sp2 
##          20.17316          25.28262

#o argumento var.equa=T diz que as variâncias das duas espécies são as mesmas
# podemos fazer o teste com a premissa de que as variâncias não sejam iguais,
# usando var.equal=F, isso vai "consumir" graus de liberdade.

Vamos interpretar este resultado: temos o valor de t calculado e os graus de liberade (já calculado pela gente antes). Com estes 2 valores, o que o R faz é calcular a probabilidade de que a hipótese nula seja verdadeira. Esse é o valor-p, que neste exemplo deu um valor beem pequeno. Vemos então que podemos rejeitar H0, com uma probabilidade muito baixa de estarmos incorrendo no erro de tipo 1, e desta forma acreditamos que as espécies de árvores tenham distribuições de alturas diferentes (médias diferentes).

Vamos então incluir no nosso exemplo inicial uma terceira espécie amostrada (e vamos diminuir o número de amostras por espécie para ficar mais fácil de fazer os cálculos passo a passo):

alt.sp3 <- c(36.90076761,33.23131727,32.82767311,24.93410577,31.87626329,
         28.76824248,26.6436144,31.41238398,27.65383929,31.70425719,
         33.60752445,28.30263354,29.32210674,23.4790054,22.20793046,
         18.28797293,23.39044736,28.75820917,29.94344703,34.47430235,
         32.09820862,26.99845592,27.64858951,31.90557306,33.63236368,
         25.35966179,35.00885172,32.89125598,18.98802229,30.8516906,
         22.04191398,35.37232889,35.67150408,34.30257037,24.43038475,
         20.6274663,31.15717916,23.27023231,36.20568545,34.33068448,
         28.40769054,31.00578874,29.50989158,31.69915991,37.25975797,
         30.1279997,38.623371,35.36472829,29.88304259,31.00145491)

sp3 <- data.frame(alt=alt.sp3, sp=rep("sp3",50))
arv2 <- rbind(arv,sp3)

amostras <- seq(1,150,by=5)

arv3 <- arv2[ amostras, ]

Neste exemplo lidaremos com um modelo simples de anova chamado one way ANOVA, porque lida apenas com uma variável independente categórica (fator).

A ANOVA testará a hipótese nula de que as médias das alturas das 3 espécies não diferem.

Faremos agora a ANOVA "na unha", para entendermos melhor cada passo da análise e a interpretação de seus resultados para depois usarmos a função do R que faz esta análise diretamente.

ANOVA na unha

Vamos calcular os valores da tabela de ANOVA. Começando com os desvios quadráticos, ou seja, quanto os dados desviam da média (idéia parecida com a variância). O ponto importante é que essa variação é aditiva e portanto, pode se decomposta. A variação total é decomposta em variação relacionada ao tratamento (entre grupos), no nosso caso às espécies, e uma variação interna dos grupos (chamada de erro). A estatística F é a razão entre essas variaões após dividir cada uma delas pelos seus respectivos graus de liberdade. Complicou? Vamos fazer os cálculos e ver os gráficos para ver se entendemos melhor:

A tabela de ANOVA que vamos construir é essa:

Primeiro vamos mudar a forma do nosso data frame para facilitar os comandos

arv4 <- data.frame(sp1=arv3$alt[arv3$sp=="sp1"],
                   sp2=arv3$alt[arv3$sp=="sp2"],
                   sp3=arv3$alt[arv3$sp=="sp3"])
arv4

##          sp1      sp2      sp3
## 1  21.282000 19.14508 36.90077
## 2  19.875790 18.66252 28.76824
## 3  23.562570 25.10581 33.60752
## 4  19.313744 18.10266 18.28797
## 5  26.308616 21.48084 32.09821
## 6   8.301795 28.08559 25.35966
## 7  27.192502 20.47805 22.04191
## 8  15.941866 29.22927 20.62747
## 9  20.596624 19.32911 28.40769
## 10 22.048945 18.21446 30.12800

boxplot(arv4)

Vamos calcular a média geral, as médias para cada espécie, e as diferenças entre a média geral e a média para cada espécie, para chegar ao valor da soma dos quadrados total:

media.geral <- mean(arv3$alt)
media.geral

## [1] 23.28284

medias.sps <- apply(arv4, 2, mean)
medias.sps

##      sp1      sp2      sp3 
## 20.44245 21.78334 27.62274

dif.geral <- arv4 - media.geral
ss.especies <- dif.geral^2
ss.especies

##                sp1       sp2        sp3
##  [1,]   4.00337202 17.121094 185.447876
##  [2,]  11.60801175 21.347420  30.089610
##  [3,]   0.07824755  3.323227 106.599051
##  [4,]  15.75374565 26.834280  24.948725
##  [5,]   9.15530094  3.247214  77.710675
##  [6,] 224.43179074 23.066347   4.313177
##  [7,]  15.28543337  7.866884   1.539904
##  [8,]  53.88994194 35.359990   7.051024
##  [9,]   7.21577099 15.631997  26.264064
## [10,]   1.52250306 25.688498  46.856173

ss.total <- sum(ss.especies)
ss.total

## [1] 1033.251

Para calcular os desvios quadráticos totais, nós subtraímos cada altura das árvores pela média geral e elevamos ao quadrado. Veja o gráfico:

vetor.cor <- rep(1:3, each=10) #vetor de cores

plot(x = c(1:30), y = arv3$alt, ylim=c(10,40),
     pch=(rep(c(15,16,17), each=10)),
     col=vetor.cor,
     ylab="Variável Resposta", xlab="Observações",
     main="Variação total")
    for(i in 1:30)
    {
    lines(c(i,i),c(arv3$alt[i],mean(arv3$alt)),col=vetor.cor[i])
    }
    abline(h=media.geral)

Agora vamos fazer a somatória dos desvios quadráticos dentro de cada grupo (ss.intra).

O gráfico para entender esse cálculo:

vetor.medias<-rep(medias.sps, each=10)

plot(c(1:30), arv3$alt, ylim=c(10,40),
     pch=(rep(c(15,16,17),each=10)),
     col=vetor.cor,
     main="Variação Intra Grupos",
     ylab="Variável Resposta", xlab="Observações")
    for(i in 1:30)
    {
    lines(c(i,i),c(vetor.medias[i],arv3$alt[i]),col=vetor.cor[i])
    }
    lines(c(1,10),c(medias.sps[1],medias.sps[1]),col=1)
    lines(c(11,20),c(medias.sps[2],medias.sps[2]),col=2)
    lines(c(21,30),c(medias.sps[3],medias.sps[3]),col=3)

Cálculo dos valores:

medias.sps

##      sp1      sp2      sp3 
## 20.44245 21.78334 27.62274

ss.sp1=sum((arv4$sp1-medias.sps["sp1"])^2)
ss.sp1

## [1] 262.2655

ss.sp2=sum((arv4$sp2-medias.sps["sp2"])^2)
ss.sp2

## [1] 157.0018

ss.sp3=sum((arv4$sp3-medias.sps["sp3"])^2)
ss.sp3

## [1] 322.4728

ss.intra=ss.sp1+ss.sp2+ss.sp3
ss.intra

## [1] 741.7401

A soma dos quadrados entre grupos:

plot(c(1:30), vetor.medias, ylim=c(10,40), 
  pch=(rep(c(15,16,17),each=10)),
  col=vetor.cor, 
  main="Variação Entre Grupos", 
  ylab="Variável Resposta", xlab="Observações")
 for(i in 1:30)
    {
    lines(c(i,i),c(vetor.medias[i],mean(vetor.medias)),col=vetor.cor[i])
    }
    abline(h=media.geral)
    points(c(1:30),arv3$alt, ylim=c(10,50), 
           pch=(rep(c(0,1,2),each=10)), col=vetor.cor, cex=0.5)

medias.sps

##      sp1      sp2      sp3 
## 20.44245 21.78334 27.62274

media.geral

## [1] 23.28284

ss.entre=10*sum((medias.sps-media.geral)^2)
ss.entre

## [1] 291.5112

#conferindo os cálculos
ss.intra+ss.entre

## [1] 1033.251

ss.total

## [1] 1033.251

Cálculo do F

# Desvios médios
ms.entre=ss.entre/2
ms.intra=ss.intra/27
ms.entre

## [1] 145.7556

ms.intra

## [1] 27.47186

#F - razão das variâncias
F.sps=ms.entre/ms.intra
F.sps

## [1] 5.305634

Distribuição F

Vamos ver na distribuição F qual a probabilidade de termos econtrado o valor F.sps ao acaso:

curve(expr=df(x, 2,27),
      main="Distribuição F de Fisher (df=2,27)", 
      xlab="Valor F",
      ylab="Densidade Probabilística (df)",
      xlim=c(2,12))
abline(v=F.sps, col="red")
abline(h=0, lty=2)

xf=seq(F.sps, 12, 0.01)
ydf=df(xf, 2, 27)
polygon(c(F.sps,xf),c(0,ydf),col="red")

text(x= 7,y=0.08,paste("pf(x) =",
     round(pf(F.sps,2,27,lower.tail=F),4)), 
     cex=0.8, col="red")

Cálculo do P

p.sps=pf(F.sps, 2, 27, lower.tail=FALSE)
p.sps

## [1] 0.01139248

Para mais informações sobre o F e as comparações com o teste t, veja esse roteiro.

A tabela final

Colocando os dados calculados em nossa tabela de anova

ANOVA no R

A função que constrói esta tabela de ANOVA e faz o teste estatístico é a aov. Vamos comparar:

anova.sps <- aov(alt~sp, data=arv3)
summary(anova.sps)

##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
## sp           2  291.5  145.76   5.306 0.0114 *
## Residuals   27  741.7   27.47                 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Agora nós sabemos de ondem vem os números nesta tabela e como foi calculado o P, certo?

Onde estão as diferenças?

• veja os gráficos

• faça teste à posteriori - Tukey HDS

TukeyHSD(anova.sps)

##   Tukey multiple comparisons of means
##     95% family-wise confidence level
## 
## Fit: aov(formula = alt ~ sp, data = arv3)
## 
## $sp
##             diff        lwr       upr     p adj
## sp2-sp1 1.340893 -4.4708805  7.152667 0.8360276
## sp3-sp1 7.180300  1.3685259 12.992073 0.0132022
## sp3-sp2 5.839406  0.0276327 11.651180 0.0487468

#revendo gráfico dos dados
stripchart( arv3$alt~arv3$sp,
           vertical = TRUE, pch = 16, 
           col = c("black", "red", "green"))

#boxplot
boxplot(arv4)

lm.anova.sp <- lm(alt~sp, data=arv3)
summary.aov(lm.anova.sp) #mesmo que o summary do aov

##             Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
## sp           2  291.5  145.76   5.306 0.0114 *
## Residuals   27  741.7   27.47                 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

# mostra o resultado de forma um pouco diferente, consegue entender?
summary(lm.anova.sp) 

## 
## Call:
## lm(formula = alt ~ sp, data = arv3)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -12.1407  -3.0002  -0.0742   3.2719   9.2780 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)   20.442      1.657  12.334 1.32e-12 ***
## spsp2          1.341      2.344   0.572  0.57202    
## spsp3          7.180      2.344   3.063  0.00492 ** 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 5.241 on 27 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.2821, Adjusted R-squared:  0.229 
## F-statistic: 5.306 on 2 and 27 DF,  p-value: 0.01139

• Y contínuo
  
• X continuo

plot(arv3$alt ~ nutri)

alt.nutr <- lm(alt ~ nutri, data = arv3)
summary(alt.nutr)

## 
## Call:
## lm(formula = alt ~ nutri, data = arv3)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -6.7176 -1.7171  0.0088  1.4124  9.2072 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 14.38711    1.05832  13.594 7.44e-14 ***
## nutri        0.58006    0.05971   9.714 1.82e-10 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 2.906 on 28 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7712, Adjusted R-squared:  0.763 
## F-statistic: 94.37 on 1 and 28 DF,  p-value: 1.818e-10

plot(arv3$alt ~ nutri)
abline(alt.nutr, col = "red") # reta da regressão

#reta da hipótese nula de ausência de efeito dos nutrientes
abline(h = mean(arv3$alt), col = "blue", lty = 2)  

• Y continuo

• X1 contínuo

• X2 categórico

plot(alt~nutri, data=arv3, col=arv3$sp)

alt.sp.nutr <- lm(alt ~ nutri + sp, data = arv3)
summary(alt.sp.nutr)

## 
## Call:
## lm(formula = alt ~ nutri + sp, data = arv3)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -5.6682 -0.9554 -0.1585  1.3581  7.6134 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  13.3971     1.1034  12.142 3.23e-12 ***
## nutri         0.5256     0.0561   9.369 8.09e-10 ***
## spsp2         1.6421     1.1423   1.437  0.16251    
## spsp3         3.8326     1.1965   3.203  0.00357 ** 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 2.553 on 26 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.836,  Adjusted R-squared:  0.817 
## F-statistic: 44.16 on 3 and 26 DF,  p-value: 2.401e-10

alt.sp.nutr2 <- lm(alt ~ nutri + sp + nutri:sp, data=arv3)

alt.sp.nutr3 <- lm(alt ~ nutri*sp, data=arv3)
summary(alt.sp.nutr3)

## 
## Call:
## lm(formula = alt ~ nutri * sp, data = arv3)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -5.6724 -0.9444 -0.3313  1.0416  7.0702 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 13.40167    1.42727   9.390 1.66e-09 ***
## nutri        0.52527    0.08906   5.898 4.38e-06 ***
## spsp2        2.93717    1.97080   1.490    0.149    
## spsp3        0.43636    2.75666   0.158    0.876    
## nutri:spsp2 -0.10095    0.12423  -0.813    0.424    
## nutri:spsp3  0.17187    0.14350   1.198    0.243    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 2.474 on 24 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8578, Adjusted R-squared:  0.8282 
## F-statistic: 28.96 on 5 and 24 DF,  p-value: 2.003e-09

summary.aov(alt.sp.nutr3)

##             Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## nutri        1  796.8   796.8 130.179 3.53e-11 ***
## sp           2   66.9    33.5   5.467   0.0111 *  
## nutri:sp     2   22.6    11.3   1.846   0.1796    
## Residuals   24  146.9     6.1                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

1. Uma hipótese sobre a distribuição da variável resposta Yi.

2. Especificação do modelo (variáveis X).

3.Função de ligação entre a média Yi e as variáveis X. Função que lineariza a regressão

• Y - Número de atropelamentos de anuros em uma estrada

• X - distância a um Parque Nacional.

plot( atrop$TOT.N ~ atrop$D.PARK,
      xlab = " Distância ao parque",
      ylab = "Número de atropelamentos")

mod <- glm(TOT.N ~ D.PARK, data = atrop, 
           family = poisson)

summary(mod)

## 
## Call:
## glm(formula = TOT.N ~ D.PARK, family = poisson, data = atrop)
## 
## Deviance Residuals: 
##     Min       1Q   Median       3Q      Max  
## -8.1100  -1.6950  -0.4708   1.4206   7.3337  
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)  4.316e+00  4.322e-02   99.87   <2e-16 ***
## D.PARK      -1.059e-04  4.387e-06  -24.13   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 1071.4  on 51  degrees of freedom
## Residual deviance:  390.9  on 50  degrees of freedom
## AIC: 634.29
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 4

anova(mod, test = "Chisq")

## Analysis of Deviance Table
## 
## Model: poisson, link: log
## 
## Response: TOT.N
## 
## Terms added sequentially (first to last)
## 
## 
##        Df Deviance Resid. Df Resid. Dev  Pr(>Chi)    
## NULL                      51     1071.4              
## D.PARK  1   680.55        50      390.9 < 2.2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

##   (Intercept)        D.PARK 
##  4.3164849800 -0.0001058506

• Y - Quantidade de veados infectados dentre os capturados

• X - quantidade de vegetação aberta

plot(prop.veados ~ veados$openland,
     ylim=c(0,1),
     xlab = "Porcentagem de vegetação aberta",
     ylab="Proporção de veados infectados")

nao.infectado <- veados$amostrado- veados$infectado
y <- cbind(veados$infectado, nao.infectado)
mod.veado <- glm(y ~  openland, data=veados, family="binomial")
summary(mod.veado)

## 
## Call:
## glm(formula = y ~ openland, family = "binomial", data = veados)
## 
## Deviance Residuals: 
##     Min       1Q   Median       3Q      Max  
## -3.8052  -1.1463   0.6707   1.3416   3.5483  
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)   2.4820     0.1736   14.29   <2e-16 ***
## openland     -6.0336     0.4432  -13.61   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 376.18  on 31  degrees of freedom
## Residual deviance: 121.30  on 30  degrees of freedom
## AIC: 204.65
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 5

anova(mod.veado, test = "Chisq")

## Analysis of Deviance Table
## 
## Model: binomial, link: logit
## 
## Response: y
## 
## Terms added sequentially (first to last)
## 
## 
##          Df Deviance Resid. Df Resid. Dev  Pr(>Chi)    
## NULL                        31     376.18              
## openland  1   254.88        30     121.30 < 2.2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

## (Intercept)    openland 
##    2.482035   -6.033583

Teste de Shapiro-Wilks

• H0: dados são normais

shapiro.test(arv3$alt)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  arv3$alt
## W = 0.96262, p-value = 0.3609

shapiro.test(arv$alt[arv$sp == "sp1"])

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  arv$alt[arv$sp == "sp1"]
## W = 0.9906, p-value = 0.9591

shapiro.test(arv$alt[arv$sp == "sp2"])

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  arv$alt[arv$sp == "sp2"]
## W = 0.97453, p-value = 0.3502

Teste de Bartlett:

bartlett.test(arv3$alt~arv3$sp)

## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  arv3$alt by arv3$sp
## Bartlett's K-squared = 1.1109, df = 2, p-value = 0.5738

Teste de Levene:

leveneTest(arv3$alt~arv3$sp)

## Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
##       Df F value Pr(>F)
## group  2   0.512  0.605
##       27

A premissa de normalidade na verdade recai sobre os resíduos do modelo.

resid(anova.sps)

##           1           6          11          16          21          26 
##   0.8395548  -0.5666556   3.1201253  -1.1287012   5.8661704 -12.1406501 
##          31          36          41          46          51          56 
##   6.7500566  -4.5005793   0.1541789   1.6065001  -2.6382600  -3.1208224 
##          61          66          71          76          81          86 
##   3.3224765  -3.6806771  -0.3024985   6.3022481  -1.3052922   7.4459310 
##          91          96         101         106         111         116 
##  -2.4542276  -3.5688778   9.2780228   1.1454976   5.9847796  -9.3347719 
##         121         126         131         136         141         146 
##   4.4754638  -2.2630830  -5.5808309  -6.9952785   0.7849457   2.5052549

#residuals(anova.sps) # o mesmo que a função de cima

# regressão: alt ~ nutri
plot(alt.nutr)

# ANCOVA modelo aditivo: alt ~ nutri + sps
plot(alt.sp.nutr)

# ANCOVA modelo interativo: alt ~ nutri * sps
plot(alt.sp.nutr2)

# GLM poisson: atrop ~ dist.park
plot(mod)

# GLM binoimial: prop.infectado ~ openland
plot(mod.veado)